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線性系統的穩定性和穩定判據

時間:2015-09-19 17:09來源:www.jamespellerite.com 編輯:自動控制網
穩定性是控制系統最重要的問題,也是對控制系統最基本的要求,因為一個控制系統不穩定,就不能正常工作。不穩定的控制系統,當受到內部或外界擾動,如負載或能源的波動、系統參數變化等,系統中各物理量偏離原平衡工作點,并隨著時間的推移而發散,即使在干

   穩定性是控制系統最重要的問題,也是對控制系統最基本的要求,因為一個控制系統不穩定,就不能正常工作。不穩定的控制系統,當受到內部或外界擾動,如負載或能源的波動、系統參數變化等,系統中各物理量偏離原平衡工作點,并隨著時間的推移而發散,即使在干擾消失后也不可能再恢復到原平衡狀態。 本文來自www.jamespellerite.com

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線性定常系統漸近穩定的充要條件

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系統的閉環特征根全部分布S平面的左半部而具有負實部?梢娍刂葡到y的穩定性取決于系統本身的結構和參數,與外加輸入信號無關。

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穩定性分析 

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判斷線性定常系統穩定性的基本方法通常有以下幾種: 自動控制網www.jamespellerite.com版權所有

 特征方程法——通過求解特征方程的所有根并判斷其是否均具有負實部來決定系統穩定性,該方法也可稱作直接法。方程階次較高時難以應用。

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 代數判據法——利用實系數方程根與系數的關系得到的根據特征方程的系數來判斷特征根的實部符號,從而判定系統穩定性的方法。該方法也可稱作間接法。常用代數判據有勞斯(Routh)判據和胡爾維茨(Hurwitz)判據等。本節重點介紹勞斯判據。

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 根軌跡法——通過繪制閉環極點隨開環某參數變化的軌跡,從而判斷閉環穩定性。該方法實為一種圖解特征方程法。詳見第四章。

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 頻率穩定判據法——根據開環頻率特性如Nyquist圖、Bode圖或Nichols圖判斷閉環系統的穩定性。由于頻率特性曲線易由實驗獲取,故該方法較實用,詳見第五章。 自動控制網www.jamespellerite.com版權所有

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勞斯穩定判據法

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    設系統特征方程

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則可列出如下勞斯計算表

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表中有關系數計算方法如下:

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勞斯判據:當且僅當勞斯計算表中第一列各元符號相同時,系統漸近穩定;否則系統不是漸近

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        穩定的,且第一列各元符號改變次數等于具有正實部特征根的個數。

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勞斯穩定判據法的特殊應用

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 某行的一個元為零,而其它各元不全為零。解決方法有兩種:用很小的正數代替的一個零元;或用(要求)乘原特征方程得新特征方程,再用勞斯判據,因新、原特征方程具有相同的穩定性。 自動控制網www.jamespellerite.com版權所有

   設某系統的特征方程式為,試用Routh穩定判據判別系統的穩定性。

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解:建立Routh計算表

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   注意,在進行Routh計算表的第三行運算時,出現第一列元素為零而其它各列元素不為零的現象。這時,按Routh法則需要將零元素用趨近于的正數置換,在以后計算各元素的過程中,均以代替上述的零元素。因此,第四行第一列元素的符號應為負。從Routh計算表可見,第一列元素的符號變化了兩次,這說明系統特征方程有兩個具有正實部的根,從而系統是不穩定的。

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   某行所有元均為零。解決辦法:用全零元行的上一行構成的輔助方程的一階導數對應系數代替全零元行的對應各元,繼續計算勞斯表。輔助方程的階數一般為偶數,而且它與特征根中含有的數值相同符號相異的根數相等。在這種情況下,系統通常具有臨界穩定性. 自動控制網www.jamespellerite.com版權所有

   設某系統的特征方程式為,試用Routh穩定判據判別系統的穩定性。 本文來自www.jamespellerite.com

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    注意,在建立Routh計算表過程中,若出現某一行元素全部為零現象,則首先需利用該行的上一行的元素構造輔助方程式。行的元素全部為零,故需利用該行的上一行,即行中元素構造如下輔助方程式;其次將輔助方程是各項對變量求導,得到一個較輔助方程低一階的新方程式。得;最后用新方程式的各項系數去代替全零行的元素,并繼續進行Routh計算表的運算,直到行,有Routh計算表

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   從Routh計算表看出,第一列各元素的符號均相同而無變化,這說明系統特征方程是在平面右半部無根。但由于行的元素全部為零,說明系統特征方程式在虛軸上有共軛虛根。這類共軛虛根可由輔助方程式解出。對于本例,它們為。具有共軛虛根的系統,理論上認為其具有臨界穩定性。

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