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描述函數法

時間:2014-11-12 11:15來源:www.jamespellerite.com 編輯:自動控制網
描述函數法是達尼爾(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:當系統滿足一定的假設條件時,系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似,由此導出非線性環節的近似等效頻率特性,即描述函數。這時非線性系統就近似等效為一個線

    描述函數法是達尼爾(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:當系統滿足一定的假設條件時,系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似,由此導出非線性環節的近似等效頻率特性,即描述函數。這時非線性系統就近似等效為一個線性系統,并可應用線性系統理論中的頻率法對系統進行頻域分析。
    描述函數法只能用來研究系統的頻率響應特性,不能給出時間響應的確切信息。

    1、描述函數的基本概念
    (1)描述函數的定義
    設非線性環節輸入輸出描述為 y=f(x) 當非線性環節的輸入信號為正弦信號x(t)=Asinωt時,可對非線性環節的穩態輸出y(t)進行諧波分析。一般情況下,y(t)為非正弦的周期信號,因而可以展開成傅里葉
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一般情況下,描述函數是輸入信號幅值A和頻率ω的函數。當非線性環節中不包含儲能元件時,其輸出的一次諧波分量的幅值和相位差與ω無關,故描述函數只與輸入信號幅值A有關。至于直流分量,若非線性環節的正弦響應為關于t的奇對稱函數,即

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    (2)非線性系統描述函數法分析的應用條件
    1)非線性系統應簡化個非線性環節和一個線性部分閉環連接的典型結構形式,如圖所示。
    2)非線性環節的輸入輸出特性應y(x)是X的奇函數,即f(x)=-f(-x),或正弦輸入下的輸出為 的奇對稱函數, 即y(t+π/ω)=-y(t),以保證非線性環節的正弦響應不含有常值分量,即A0=0。
    3)系統的線性部分應具有較好的低通濾波性能。線性部分的階次越高,低通濾波性能越好;而欲具有低通濾波性能,線性部分的極點應位于復平面的左半平面。

    (3)描述函數的物理意義
    線性系統的頻率特性反映正弦信號作用下,系統穩態輸出中與輸入同頻率的分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化;而非線性環節的描述函數則反映非線性系統正弦響應中一次諧波分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化。因此忽略高次諧波分量,僅考慮基波分量,非線性環節的描述函數表現為復數增益的放大器。 本文來自www.jamespellerite.com
    注意:描述函數表現為關于輸入正弦信號的幅值A的復變增益放大器,這正是非線性環節的的近似頻率特性與線性系統頻率特性的本質區別。

    2、典型非線性特性的描述函數
    典型非線性特性具有分段線性特點,描述函數的計算重點在于確定正弦響應曲線和積分區間,一般采用圖解方法。下面針對兩種典型非線性特性,介紹計算過程和步驟。
    (1)死區飽和非線性環節
    將正弦輸入信號X(t)、非線性特性y(x)和輸出信號y(t) 的坐標按下張圖所示方式和位置旋轉,死區飽和特性及其正弦響應也在下張圖所示。輸出 y(t)的數學表達式為
3、非線性系統的簡化 自動控制網www.jamespellerite.com版權所有
    等效變換的原則是在r(t)=0條件下,根據非線性特性的串、并聯,簡化非線性部分為一個等效非線性環節,然后簡化線性部分。
    (1)非線性特性的并聯
由描述函數定義,并聯等效非線性特性的描述函數為各非線性特性描述函數的代數和。見下圖。
    (2)非線性特性的串聯
    若兩個非線性環節串聯,可采用圖解法簡化。以死區特性和死區飽和特性串聯簡化為例。
通常,先將兩個非線性特性按下張圖(a)、(b)形式放置,就可以確定等效非線性的參數。
應該指出,兩個非線性環節的串聯,等效特性還取決于其前后次序。調換次序則等效非線性特性亦不同。描述函數需按等效非線性環節的特性計算。多個非線性特性串聯,可按上述兩個非線性環節串聯簡化方法,依由前向后順序逐一加以簡化。 本文來自www.jamespellerite.com
    (3)線性部分的等效變換
    4、非線性系統穩定性分析的描述函數法
    (1)變增益線性系統的穩定性分析
    先研究圖示線性系統的穩定性,其中K為比例環節增益。 設G(s)的極點均位于s 的左半平面,即P=0。
    (2)應用描述函數分析非線性系統的穩定性
    當非線性特性采用描述函數近似等效時,閉環系統的特征方程為 1+N(A)G)(jω)=0 本文來自www.jamespellerite.com
系統處于周期運動時,非線性環節的輸入近似為等幅振蕩 x(t)=Asinωt即每一個交點對應著一個周期運動。如果該周期運動能夠維持,即考慮外界小擾動作用使系統偏離該周期運動,當該擾動消失后,系統的運動仍能恢復原周期運動,則稱為穩定的周期運動。
    下張圖給出了非線性系統存在周期運動的四種形式。圖中曲線ΓG和-1/N(A)的交點為N0=-1/N(A0),負倒描述函數上的一點Ni對應的幅值為Ai。
在復平面上可將曲線ΓG包圍的區域視為不穩定區域,曲線ΓG不包圍的區域視為穩定區域,則有下述周期運動穩定性判據:
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    曲線ΓG和曲線-1/N(A)的交點處,若-1/N(A)曲線沿著振幅A增加的方向由不穩定區域進入穩定區域時, 該交點對應的周期運動是穩定的。反之,若-1/N(A)曲線沿著振幅A增加的方向在交點處由穩定區域進入不穩定區域時,該交點對應的周期運動是不穩定的。
    例:設具有飽和非線性特性的控制系統如下所示,試分析:
    1)K=15時非線性系統的運動;
    2)欲使系統不出現自振蕩,確定K的臨界值。
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